Предприниматель, издатель, библиофил, коллекционер, владелец художественной галереи, один из крупнейших московских благотворителей, купец 1-й гильдии, потомственный почётный гражданин, академик петербургской Академии художеств. Коммерции советник.

Родом из купеческой старообрядческой семьи. Систематического образования не получил. С детства участвовал в деле отца, унаследовал его и в 1850-х гг. стал одним из наиболее крупных торговцев хлопчатобумажной пряжей в России.

Определенную роль в формировании его общественных взглядов сыграли взаимоотношения Солдатенкова с членами московского кружка передовой интеллигенции, руководимого Т.Н. Грановским. Самым близким Солдатёнкову человеком в кружке был Н.Х. Кетчер - переводчик Шиллера, Гофмана, Шекспира. Именно по инициативе Н.Х. Кетчера было создано издательство К.Т. Солдатёнкова и Н.М. Щепкина. Их первой книгой стала"Стихотворения" А.В. Кольцова, выпущенная в феврале 1856 г . Через год был открыт магазин Щепкина и Солдатёнкова на Лубянке. Совместное издательство выпустило также 12-томное собрание сочинений В.Г. Белинского, "Народные русские сказки" и "Народные русские легенды" А.А. Афанасьева, книги Н. А. Некрасова, Д. В. Григоровича, А. И. Полежаева, А. В. Кольцова и др.

В 1862 г. разошелся со Щепкиным и продолжил издательскую деятельность уже самостоятельно. Важными чертами ее были, с одной стороны, очень высокий научный и издательский уровень, а с другой — некоммерческий характер. Солдатенков издал множество фундаментальных трудов западных авторов — историков (Т.Н. Грановского, И.Е. Забелина, Н.И. Зибера, В.О. Ключевского), географов, экономистов, психологов, филологов ("История упадка Римской империи" Э. Гиббона, "Римская история" Т. Моммзена, "Всеобщая история" Г. Вебера в пер. Н. Г. Чернышевского, "Всеобщая история" под ред. А. Лависса и Э. Рамбо и др.), памятники мировой классики ("Илиада", 9-томное собр. соч. У. Шекспира и др.), сочинения русских писателей (С.Я. Надсона, Н.П. Огарёва, Н.А. Полевого, Я.П. Полонского, И.С. Тургенева, А.А. Фета и др., переводы трудов иностранных учёных; памятники мировой классики.

Библиотека Солдатёнкова к 1901 г. насчитывала около 20 000 книг на русском языке (историческая, философская, художественная литература, книги по искусству).
Свою коллекцию русской живописи, книги по искусству (8 000 томов) и 15 000 экземпляров журналов Солдатёнков завещал Румянцевскому музею, где они экспонировались в двух залах до ликвидации музея в 1925 г.; затем переданы в Третьяковскую галерею, Русский музей и др., книги — в Государственную библиотеку имени В.И. Ленина.